And so even actual washing—whenever it is evident that it is not for the pleasure of washing, but rather that he is compelled to this by way of his travel, such as: one who goes on Yom Kippur to the beit midrash, or to greet his father, or his teacher, or one who is greater than him in wisdom, who were on the other side of a river, or for other needs of a mitzvah that require passing through water—he passes through and is not concerned, for this is not a washing of pleasure. And he may pass through the water up to his neck, whether in going or in returning. For if you do not permit him in returning—he too will not go, and it will come to the prevention of a mitzvah. And our sages, of blessed memory, required that he should not lift the edges of his shirt onto his arm, and bring his hand out from under the lip of his shirt, because that is the way to do on a weekday. And we are concerned that he might come to wringing. Therefore, we required him not to do so as on a weekday, and by means of this change he will remember that it is Yom Kippur, and he will not come to wringing. And this is when the waters are not rushing, and there is no danger in this when he goes up to his neck in the water. For when the waters are rushing—it is forbidden for a person even on a weekday to go in a depth above the loins. For when the waters are rushing he could drown from the current of the water, and it is forbidden for a person to place himself in a position of danger. And specifically walking in water is permitted, but to swim—is forbidden, for behold it is forbidden to swim on Shabbat, and Yom Tov, and Yom Kippur because of shevut. And so too in a ferry—it is forbidden. And it is not similar to washing which they permitted to him, for this is not washing, since it is not for pleasure. But swimming in any case is forbidden. And this is the reasoning of the Ba'al HaHalachot Gedolot that the Tur cited. (And the Tur questioned: How is it different from washing? And the Beit Yosef and the Bach and the Taz in subsection 4 labored to answer, see there. And the answer is simple as I have written.)
וכן אפילו רחיצה ממש – כל שניכר שאינו לתענוג רחיצה, אלא שמוכרח לזה דרך הילוכו, כגון: ההולך ביום הכיפורים לבית המדרש, או להקביל פני אביו, או רבו, או מי שגדול ממנו בחכמה, שהיו בעבר הנהר, או לשאר צרכי מצוה שצריך לעבור דרך מים – עובר ואינו חושש, שאין זה רחיצה של תענוג. ויכול לעבור במים עד צוארו, בין בהליכה בין בחזרה. שאם לא תתיר לו בחזרה – אף הוא לא ילך, ואתי לאמנועי ממצוה. והצריכו חכמינו ז"ל שלא יגביה שולי חלוקו על זרועו, ויוציא ידו מתחת שפת חלוקו, מפני שכן דרך לעשות בחול. ואנן חיישינן שלא יבא לידי סחיטה. לפיכך הצרכנוהו שלא יעשה כן כבחול, ועל ידי שינוי זה יזכור שיום הכיפורים הוא, ולא יבא לידי סחיטה. וזהו כשאין המים רודפים, ואין סכנה בזה כשילך עד צוארו במים. דכשרדיפי מיא – אסור לאדם אפילו בחול לילך בעומק למעלה ממתנים. דכשרדיפי מיא יכול לטבוע מזרם המים, ואסור לאדם להעמיד עצמו במקום סכנה. ודווקא הילוך במים מותר, אבל לשוט – אסור, שהרי אסור לשוט בשבת, ויום טוב, ויום הכיפורים משום שבות. וכן במעבורת – אסור. ולא דמי לרחיצה שהתירו לו, דאין זה רחיצה, כיון שאינו של תענוג. אבל שיוט בכל עניין אסור. וזהו טעמו של בה"ג שהביא הטור. (והטור הקשה: מאי שנא מרחיצה? והבית יוסף והב"ח והט"ז סעיף קטן ד טרחו לתרץ, עיין שם. והתירוץ פשוט כמו שכתבתי.)