Our teacher, the Rema, wrote: One who committed a transgression unintentionally, such as one who killed a person unintentionally, and performed teshuva—it is permitted for him to be a shliach tzibbur. But if he did so intentionally—no, for in any event an evil name went out concerning him prior to the teshuva. Thus far his words. From this wording it is implied that regarding an intentional act, even one time, teshuva does not avail regarding his appointment as a shliach tzibbur, and regarding an unintentional act, it avails for one time. And it is a wonder: for an unintentional act, even several times, why should it disqualify? For regarding an unintentional act, an evil name is not applicable, obviously. And it must be said that his intention was not regarding one time, for regarding one time even for an intentional act, since he performed teshuva—it is permitted for him to be a shliach tzibbur, for since he performed teshuva, the evil name was immediately nullified. And his disqualification for an intentional act is only when he did so several times, and for an unintentional act even in such a case he is fit, and so it is implied from his words in his book Darchei Moshe, see there. And that which he wrote, "for in any event an evil name went out concerning him prior to the teshuva," this is its explanation: since he did so several times, even though he performed teshuva each time, in any event prior to the teshuva an evil name went out concerning him each time. And there are those who wrote that the disqualification of "an evil name went out concerning him" is only for fast days and not for the rest of the days of the year. And it seems to me that a permanent shliach tzibbur for the whole year is of greater weight than for a fast day. (See Magen Avraham, subsection 8. And be precise and you will find it easy.) And know that that which he wrote, "killed a person"—it is not specifically so, and the same law applies to another transgression (Eliyah Rabbah). And there is reason to doubt regarding rabbinic transgressions when he performed teshuva, whether it is called "an evil name went out concerning him" or not. And it seems that there is no difference between a Torah law and a rabbinic law.
וכתב רבינו הרמ"א: מי שעבר עבירה בשוגג, כגון שהרג את הנפש בשוגג, וחזר בתשובה – מותר להיות שליח ציבור. אבל אם עשה במזיד – לא, דמכל מקום יצא עליו שם רע קודם התשובה. עד כאן לשונו. מלשון זה משמע דבמזיד אפילו פעם אחת, ולא מהני התשובה לענין התמנותו לשליח הציבור, ובשוגג מהני לפעם אחת. ותימא: דבשוגג אפילו בכמה פעמים למה יפסול? דעל שוגג לא שייך שם רע כמובן. וצריך לומר דאין כוונתו על פעם אחת, דבפעם אחת אפילו במזיד כיון ששב – מותר להיות שליח ציבור, דכיון ששב נתבטל השם רע מיד. ופסולו במזיד אינו אלא כשעשה איזה פעמים, ובשוגג גם בכהאי גוונא כשר, וכן משמע מדבריו בספרו דרכי משה, עיין שם. וזה שכתב "דמכל מקום יצא עליו שם רע קודם התשובה", הכי פירושו: כיון שעשה איזה פעמים, אף ששב בכל פעם, מכל מקום קודם התשובה יצא עליו שם רע בכל פעם. ויש שכתבו דפסול ד"יצא עליו שם רע" אינו אלא בתעניות ולא בשאר ימות השנה. ולי נראה דשליח ציבור קבוע לכל השנה עדיף מלתענית. (עיין מגן אברהם סעיף קטן ח'. ודייק ותמצא קל.) ודע דזה שכתב "הרג את הנפש" – לאו דווקא, והוא הדין עבירה אחרת (אליה רבה). ויש להסתפק בעבירות דרבנן כששב, אם נקרא "יצא עליו שם רע" אם לאו. ונראה דאין חילוק בין דאורייתא לדרבנן.