The Rambam did not mention at all whether a mourner is permitted to study Torah on Shabbat. The Tur and the Shulchan Aruch wrote in this wording: And regarding Torah study, it appears that it is a private matter. However, to review the parashah, since a person is obligated to complete his parashiot with the congregation—it is like reciting the Shema and is permitted. Thus far their words. And they ruled simply that Torah study is forbidden on Shabbat. And seemingly it is not understood, for since there is no mourning on Shabbat, granted that private matters are observed—this applies to matters where there is no transgression in refraining from doing them. But as for studying Torah, why should it be forbidden since there is no mourning on Shabbat, and you have no mitzvah as great as Torah study? And what does this have to do with private matters? And indeed I found in the Mordechai who wrote: Some forbid Torah study on Shabbat, as it is similar to private matters. But Ri used to permit studying Torah on Shabbat, for it gladdens the heart and he must gladden himself on Shabbat. Thus far his words (in the Mordechai, third chapter of Moed Katan in the laws of an onen, see there). And it seems to me that he did not specifically mean "joy," for we do not find joy regarding Shabbat but rather "delight": "And you shall call the Shabbat a delight," and this is like joy. And if he studies permitted subjects, will he not be pained, and he will not have delight? But our teacher, the Beit Yosef, in his great work brought a majority of opinions for prohibition, and ruled that the halacha follows the many, see there.
And regarding that which they permitted reviewing the parashah because a person is obligated to complete the Torah with the congregation, and it is like reciting the Shema, according to this one must ask: Is a person not also obligated in Torah study every day? For behold, it is one of the questions on the Day of Judgment: Did you set fixed times for Torah? Rather, one must say that for a mourner there is no such obligation, and if so, regarding the completion of the Torah there is also no obligation for a mourner, for what is the difference between this and that? Furthermore: for behold, it is within his power to complete it on another Shabbat. However, the intention is that because such is his way every Shabbat—it is like the order of the prayer. And this is why he was precise to say that it is like reciting the Shema. And so I saw by one of the great authorities, who wrote that one who is accustomed to study eighteen chapters of Mishnayot every day—may study them even on the Shabbat within the days of his mourning (K.N. in the Rosh, siman 75, letter 57). And according to this, if he has a fixed session to study Gemara and poskim, he may also study during that Shabbat. And so if he is accustomed to study every Shabbat the order of the parashah with the commentary of Rashi—he may also study. (And so wrote the Ba'er Heitev, subsection 2, in the name of the L.H.P.)
הרמב"ם לא הזכיר כלל אם האבל מותר ללמוד תורה בשבת. והטור והשולחן ערוך כתבו בזה הלשון: ותלמוד תורה נראה דהוי דבר שבצינעא. אבל לחזור הפרשה, כיון שחייב אדם להשלים פרשיותיו עם הצבור – הוי כקורא את שמע ומותר. עד כאן לשונם. ופסקו בפשיטות שאסור בתלמוד תורה בשבת. ולכאורה אינו מובן, דאחרי שאין אבלות בשבת נהי דדברים שבצנעא נוהג – זהו בדברים שאין בהן עבירה במניעת עשייתן. אבל ללמוד תורה למה יאסר כיון שאין אבלות בשבת, ואין לך מצוה גדולה כתלמוד תורה? ומה זה ענין לדברים שבצנעא? ובאמת מצאתי במרדכי שכתב: יש אוסרים תלמוד תורה בשבת, דדמי למילי של צנעא. אבל ר"י היה מתיר ללמוד תורה בשבת, שהיא משמחת הלב והוא צריך לשמוח עצמו בשבת. עד כאן לשונו (במרדכי פרק שלישי דמועד קטן בהלכות אונן, עיין שם). ונראה לי דלאו דווקא שמחה קאמר, דלא מצינו שמחה בשבת אלא "עונג": "וקראת לשבת עונג", וזהו כשמחה. ואם ילמוד בדברים המותרים הלא יצטער, ולא יהיה לו עונג. אבל רבינו הבית יוסף בספרו הגדול הביא רוב דעות לאיסור, ופסק דהלכה כרבים, עיין שם.
ובזה שהתירו לחזור הפרשה מפני שחייב אדם להשלים התורה עם הצבור, והוי כקורא את שמע, ולפי זה יש לשאול: הא גם תלמוד תורה חייב אדם בכל יום? שהרי היא אחת מהשאלות ליום הדין: קבעת עתים לתורה? אלא צריך לומר דבאבל ליכא חיוב זה, ואם כן גם בהשלמת התורה ליכא באבל, דמאי שנא זה מזה? ועוד: דהא ביכולתו להשלים בשבת אחרת. אמנם הכוונה הוא דמפני שכן דרכו בכל שבת – הוי כסדר התפילה. וזהו שדקדק לומר דהוי כקורא את שמע. וכן ראיתי לאחד מהגדולים, שכתב שמי שרגיל ללמוד בכל יום שמונה עשר פרקים משניות – יכול ללמוד אותם גם בשבת שבימי אבלו (ק"נ ברא"ש סימן ע"ה אות נ"ז). ולפי זה אם יש לו שיעור קבוע ללמוד גמרא ופוסקים, גם כן יכול ללמוד באותו שבת. וכן אם הוא רגיל ללמוד בכל שבת סדר הפרשה עם פירוש רש"י – גם כן יכול ללמוד. (וכן כתב הבאר היטב סעיף קטן ב בשם לה"פ.)