Our teachers, the authors of the Tosafot, in Pesachim (107a) asked: Why is this prayer called "mincha"? For if it is because of the mincha of the tamid and the chavitin, were these minchot not also present in the tamid of the morning? And they answered: For we say in Berakhot (6b) that Elijah was only answered during the mincha prayer, and perhaps at the time of the offering of the mincha he was answered, and therefore it is called "the mincha prayer," for then was a time of favor. Thus far their words. And it is still not understood: why indeed was he answered at the time of the offering of the evening mincha, and why was it then a time of favor, for it is also so in the morning? And it seems to me that the matter is thus: for it is known that at the time of the offering of the mincha they would pour the wine libation and the Levites would sing with musical instruments, and this was both in the tamid of the morning and in the tamid of the afternoon. And you have no greater time of favor than this, except that the afternoon is more of a time of favor, because the mincha is at the end of all the services, as it is found in Yoma (34a), and it turns out that the afternoon mincha is the final service of the day, and is beloved and desired like the neilah prayer on Yom Kippur, and therefore then is the time of favor. And so David said: "Let my prayer be set forth as incense before You, the lifting up of my hands as the evening mincha," behold, the evening mincha is the more beloved. (And in the Yerushalmi chapter 4, halacha 1, it learns from this that mincha was compared to incense, see there; and the Magen Avraham brought in the name of the Yerushalmi that it was established at the time of the incense, and brought it from chapter 3, but it is not so, see there, and it can be settled. And the Abudraham explained that it is an expression of "menucha" [rest], for when the sun descends to the west it is as if going to its rest; however, according to this, we should have called it "manoach," and mincha is an expression of a gift. And perhaps according to the opinion of the Rambam that prayer is from the Torah and once a day, as I wrote in siman 89, if so, the morning is the payment of an obligation and mincha is a gift, and delve into this.)
רבותינו בעלי התוספות בפסחים (ק"ז.) הקשו: למה נקראת תפלה זו 'מנחה', דאי משום מנחת התמיד והחביתין, הלא בתמיד של שחר היה גם כן מנחות אלו. ותרצו: דאמרינן בברכות (ו':) דאליהו לא נענה אלא בתפלת המנחה, ושמא בשעת הקרבת המנחה נענה, ולכך קרי לה 'תפלת המנחה', שאז היה שעת רצון עכ"ל. ועדיין אינו מובן, למה באמת בעת הקרבת מנחה של ערב נענה ולמה היה אז שעת רצון, והרי גם בשחרית כן הוא. ונראה לי דהעניין כן הוא, דידוע שבשעת הקרבת המנחה היו מנסכין נסוך היין ושרו הלוים בכלי שיר, וזהו בין בתמיד של שחר ובין בתמיד של בין הערבים. ואין לך עת רצון גדול מזה, אלא שבין הערבים הוי יותר עת רצון, משום שהמנחה היא בסוף כל העבודות כדאיתא ביומא (ל"ד.), ונמצא שהמנחה של בין הערבים היא העבודה האחרונה של היום, וחביבה ורצוייה כמו תפלת נעילה ביום הכיפורים, ולכן אז הוא העת רצון. וכן אמר דוד: "תכון תפלתי קטורת לפניך משאת כפי מנחת ערב", הרי דמנחת ערב היא החביבה יותר. (ובירושלמי פרק ד' הלכה א' יליף מזה דמנחה הוקשה לקטרת ע"ש, והמג"א הביא בשם הירושלמי דנתקנה בזמן הקטרת, והביא מפרק ג' ואינו כן ע"ש, ויש ליישב. והאבודרה"ם פירש שהוא לשון מנוחה, דכשהשמש יורדת למערב הוי כהולכת למנוחתה, אך לפי זה היה לנו לקרותה 'מנוח', ומנחה הוא לשון מתנה. ואולי דלדעת הרמב"ם דתפלה דאורייתא ופעם אחת ביום, כמ"ש בסימן פ"ט, אם כן שחרית הוי פריעת חוב ומנחה היא מתנה ודו"ק).