From the law that has been explained, the poskim inferred that if one is eating meat and one is eating milk, they join together. For even though the one eating meat cannot eat milk for six hours, by which time the food will already be digested, nevertheless, since the one eating milk can eat meat immediately by means of wiping and rinsing the mouth, they join together, as with terumah and chullin that has been explained. And if the one eating milk is not eating meat then, such as before Tisha B'Av, they do not join; or if he is eating hard cheese where he must wait a long time, they also do not join. However, on this they asked: what does meat and milk matter to us, since they are eating bread? For if not so, zimun is not relevant, and behold they can eat the bread with one another. And in truth, it is not a difficulty at all, for the essence of zimun is the joining together, and two who are eating, this one meat and this one cheese, are forced to eat in separation; for it is forbidden to bring them up onto one table, or they must make a distinction such as with two tablecloths and the like, as I wrote in Yoreh Deah siman 88, see there. And if so, how shall they join for zimun? And if you say that if so, even this one eating milk and this one meat there is no joining? That is not so, for the one eating milk can immediately join the one eating meat. And even if in truth he does not join, since it is within his power to join, it is considered like joining. This is not the case when both of them cannot eat from one another. And know that it is common to say that the one eating milk should recite the blessing and not the one eating meat, because the one eating milk can eat from the other's food (Magen Avraham subsection 1). And it seems to me that there is no great insistence on this, since the Gemara in Arachin there did not specify that the Kohen recites the blessing. But it is possible to say that it was not necessary to specify, for regardless, a Kohen recites the blessing because of "and you shall sanctify him," as I wrote in siman 201, see there. But regardless, this is not logical, for if the one eating meat cannot recite the blessing, how does he join for zimun? Rather, certainly they said this as an initial preference, but if it is the way of honor to honor the one eating meat, there is no insistence. And it seems to me that such is the custom. (That which the Taz wrote in subsection 2, the Eliyah Rabbah rejected in subsection 3, see there.)
ומהדין שנתבאר דקדקו הפוסקים שאם אחד אוכל בשר ואחד חלב – מצטרפין. דאף על גב דהאוכל בשר לא יוכל לאכול חלב עד ששה שעות, ואז כבר יתעכל המזון, מכל מקום כיון דהאוכל חלב יכול לאכול בשר מיד על ידי קינוח והדחה – מצטרפין, כמו בתרומה וחולין שנתבאר. ואם האוכל חלב אינו אוכל אז בשר, כמו קודם תשעה באב – אין מצטרפין; או שאוכל גבינה קשה שצריך להמתין הרבה גם כן אין מצטרפין. אמנם בזה הקשו: מה לנו לבשר ולחלב, הא אוכלין פת? דאם לא כן לא שייך זימון, והרי הפת יכולין לאכול זה עם זה. ובאמת לא קשיא כלל, דהא עיקר זימון הוא ההתחברות יחד, ושנים שאוכלין זה בשר וזה גבינה מוכרחים לאכול בפירוד; שהרי אסור להעלותן על שולחן אחד, או שצריכין לעשות היכר כגון בשני מפות וכיוצא בזה, כמו שכתבתי ביורה דעה סימן פ"ח, עיין שם. ואם כן איך יתחברו לזימון? ואם תאמר דאם כן אפילו זה אוכל חלב וזה בשר אין חיבור? דאינו כן, שהרי בעל החלב יכול תיכף להתחבר לבעל הבשר. ואפילו אם באמת אינו מתחבר, כיון שיש בידו להתחבר – כחיבור דמי. מה שאין כן כששניהם אין יכולין לאכול זה מזה. ודע שרגילין לומר דבעל החלב יברך ולא בעל הבשר, מפני שבעל החלב יכול לאכול של השני (מגן אברהם סעיף קטן א'). ונראה לי דאין בזה קפידא כל כך, מדלא פירשה הגמרא בערכין שם שהכהן מברך. אך אפשר לומר דלא הוצרך לפרש, דבלאו הכי כהן מברך משום "וקדשתו", כמו שכתבתי בסימן ר"א, עיין שם. אך בלאו הכי לא מסתבר זה, דאם בעל הבשר אינו יכול לברך איך מצטרף לזימון? אלא וודאי דלכתחילה אמרו כן, אבל אם מדרך הכבוד לכבד לבעל הבשר – אין קפידא. וכמדומני שכן המנהג. (מה שכתב הט"ז סעיף קטן ב', דחה האליה רבה בסעיף קטן ג', עיין שם.)