The sages taught in the Mishnah [Niddah 51b]: Everything that has horns has hooves, which implies from this that the sign of horns alone is sufficient. However, the halakhah is not according to this Mishnah, for there is already a dispute regarding this in a Baraita there, and we establish that the law is not like this Mishnah. Some wished to infer from this Mishnah that an impure animal does not have horns, and they raised a difficulty against our teacher, the Rema, in Orach Chaim siman 586, who wrote that a shofar of an impure animal is invalid—and yet such a thing is not found. But this is an error on their part, for even according to this Mishnah, the intention is not regarding ordinary horns, but rather horns like the horns of a chayah [and so wrote the Tosafot Yom Tov there], as this is clarified from the sugya of the Shas in Chullin there, and so wrote all the Rishonim. But ordinary horns can also exist in an impure animal, and all the more so since we do not establish the law like this Mishnah. The great Acharonim [see Pri Chadash and Kereiti U'Peleiti] agreed to this. There is further proof from what Chazal said there: "When he was walking in the desert etc.," as I wrote in siman 79; why did they not mention the sign of horns? Rather, it is certain that this is not a sign of taharah [and truth be told, the wording of Rashi and the Bartenura in Niddah there implies that it is a sign, and the Tosafot Yom Tov there already wondered at this and wrote that it is not from Rashi, see there; and the wording of the Rambam in his Commentary on the Mishnah is precise, see there. And even according to Rashi, it is only according to Rabbi Dosa and not according to the Rabbis. And regarding the sugya in Shabbat 28b concerning the tachash having one horn, one could say that one horn is different. Now, the Pri Chadash cited many cases of one horn and that they are impure, see there and in the Kereiti U'Peleiti. And in my humble opinion, it appears when we examine there: why did the sages not decide whether the tachash was a species of chayah or a species of behemah by resolving it from the ox of Adam HaRishon, which was a behemah since it had one horn, just as he resolves it regarding taharah? Rather, it is certain that they are not related to one another. Rather, this is the explanation: he resolves it from the fact that it was necessary to say that the tachash had one horn—and what practical difference does it make? Granted, between a chayah and a behemah there is a legal difference, but what does it matter to us if it has one horn or more? Rather, it is to teach that it was tahor, because we find a statement regarding one horn in Adam HaRishon's ox which was tahor; hear from this that here too such was their intention, and not because horns are a proof for taharah. And delve into this].
ושנו חכמים במשנה [נדה נ"א:] כל שיש לו קרנים יש לו טלפים דמשמע מזה דבסימן קרנים לבד די ואין הלכה כמשנה זו דכבר יש פלוגתא בזה בברייתא שם וקיי"ל דלא כמשנה זו ויש שרצו לדייק ממשנה זו דבהמה טמאה אין לה קרנים והקשו על רבינו הרמ"א בא"ח סי' תקפ"ו שכתב שופר של בהמה טמאה פסול והא לא משכחת לה וטעות הוא בידם דאפילו לפי משנה זו אין הכוונה על סתם קרנים אלא על קרנים כקרני חיה [וכ"כ התוי"ט שם] דכן מבואר מסוגיית הש"ס דחולין שם וכ"כ כל הראשונים אבל סתם קרנים יכול להיות גם בבהמה טמאה וכ"ש דלא קיי"ל כמשנה זו והסכימו לזה גדולי אחרונים [עפר"ח וכרו"פ] ועוד ראיה ממה שאמרו חז"ל שם כשהיה מהלך במדבר וכו' כמ"ש בסי' ע"ט למה לא אמרו סימן קרנים אלא ודאי שאין זה סימן טהרה [ואמת שלשון רש"י והרע"ב בנדה שם מבואר דהוה סימן וכבר תמה התוי"ט שם וכתב שאינו מרש"י ע"ש ולשון הרמב"ם בפי' המשנה מדוייק ע"ש ואפילו לרש"י אינו אלא לר"ד ולא לרבנן וסוגיא דשבת כח: בתחש י"ל קרן אחת שאני והנה הפר"ח הביא הרבה בקרן אחת ושהם טמאים ע"ש ועכרו"פ ולענ"ד נראה בשנדקדק שם למה לא הכריעו חכמים אם התחש מין חיה או מין בהמה לפשוט משורו של אדה"ר דהוא בהמה מדהיה לו קרן אחת כמו דפשיט לענין טהרה אלא ודאי דאין ענין זל"ז אלא דה"פ דפשיט מדאיצטריך למימר קרן אחת היה לו לתחש ואיזה נ"מ הוא בשלמא בין חיה לבהמה יש הפרש לדינא אבל מה לנו אם קרן אחת אם יותר אלא להורות דטהור הוה משום דמצינו מימרא דקרן אחת באדה"ר שהיה טהור ש"מ דגם בזה כן כוונתם ולא משום דקרנים הוה הכרח לטהרה ודוק]: