On the night of the eighth, we pray the first three and the last three, and the sanctity of the day in the middle. The Tur and the Shulchan Aruch wrote to say "And You gave us... this eighth day, the festival of Atzeret." Our teacher, the Rema, wrote that we are accustomed not to say "festival" on the eighth, for we do not find in any place that it is called "festival." Rather, we say "this day of Shemini Atzeret." Thus far his words. And some say that one must say "this day of Shemini Atzeret, the festival" (Rashal and Taz), and such is the custom of the world, and so it is printed in the prayer books. And the reason: for "the festival" refers back to Sukkot, as it is an assembly from the festival of Sukkot. But many of the great ones of Israel agreed with the Tur and the Shulchan Aruch to say "this eighth day, the festival of Atzeret." And there are many proofs that it is called "festival," and in the Torah it is secondary to the festival of Sukkot, but it is a regal in its own right and is called "festival." And so it is in the prayer book of Rav Amram Gaon. (And it seems to me a proof for this from Masechet Soferim chapter 19, which says there regarding the seventh day of Pesach that one says "on this seventh day of Atzeret," and does not mention "festival" in it because it is not a festival in its own right. Thus far his words. And consequently, Shemini Atzeret, which is a regal in its own right—is called a festival. And granted that we do not practice regarding the seventh of Pesach like the Masechet Soferim, nevertheless it is a great proof. And furthermore, the matter is a kal vachomer: for if on the seventh day of Pesach, which is not called "festival" and is not a regal in its own right, we say "this festival of Matzot"—all the more so on Shemini Atzeret, which is a regal in its own right, that one must say "festival" regarding it. Examine it and you will find it easy. And if one said "the festival of Sukkot"—it seems in my humble opinion that he does not need to return and pray again; see Sotah 39, and in the Taz Yoreh Deah siman 220.)
ליל שמיני מתפללין שלוש ראשונות ושלוש אחרונות, וקדושת היום באמצע. וכתבו הטור והשולחן ערוך לומר "ותתן לנו… את יום השמיני חג העצרת הזה". ורבינו הרמ"א כתב דאנו נוהגים שאין אומרים "חג" בשמיני, דלא מצינו בשום מקום שנקרא "חג". אלא אומרים "יום שמיני עצרת הזה", עד כאן לשונו. ויש אומרים שצריך לומר "את יום שמיני עצרת החג הזה" (רש"ל וט"ז), וכן מנהג העולם, וכך נדפס בסידורים. והטעם: דהחג קאי אסוכות, דהוא עצרת מחג הסוכות. אבל הרבה מגדולי ישראל הסכימו להטור והשולחן ערוך לומר "את יום השמיני חג העצרת הזה". ויש ראיות רבות דמקרי "חג", ובתורה הוא טפל לחג הסוכות, אבל הוא רגל בפני עצמו ואקרי "חג". וכן הוא בסידור רב עמרם גאון. (ונראה לי ראיה לזה ממסכת סופרים פרק יט, שאומר שם על שביעי של פסח שאומר "ביום שביעי העצרת הזה", ואין מזכיר בו "חג" לפי שאינו חג בפני עצמו. עד כאן לשונו. וממילא דשמיני עצרת, דהוא רגל בפני עצמו – אקרי חג. ונהי דאנן לא נהגינן בשביעי של פסח כהמסכת סופרים, מכל מקום ראיה גדולה היא. ועוד קל וחומר הדברים: דשביעי של פסח דלא אקרי "חג" ואינו רגל בפני עצמו, אנו אומרים "חג המצות הזה" – קל וחומר בשמיני עצרת, שהוא רגל בפני עצמו, שצריך לומר עליו "חג". ודייק ותמצא קל. ואם אמר "חג הסוכות" – נראה לעניות דעתי דאינו צריך לחזור ולהתפלל, עיין סוטה לט, ובט"ז יורה דעה סימן רכ.)