It is stated in the Yerushalmi, the fifth chapter of Berakhot (halacha 3): If one was reading from the Torah and became mute, the one who stands in his place shall begin from the place where the first began. If you say "from the place where he stopped," the first [verses] were blessed before them but were not blessed after them, and the latter [verses] were blessed after them but were not blessed before them. And it is written: "The Torah of Hashem is perfect, restoring the soul" – that it must be entirely perfect. Thus far the wording of the Yerushalmi, and the Rif brought it at the end of the third chapter of Megillah, as did the Tur in this siman. All the Rishonim explained that this is the explanation: that this second person who ascends blesses before it, and begins from the place where the first began, and reads until the end of the parsha and blesses after it. For if not so, but rather he begins from the place where the first stopped and without a blessing – it results that the verses the first read have no blessing after them, and regarding what the second will read, there is no blessing before them. And should you say: let him begin from the place where the first stopped and bless before it? Still, the first verses were not blessed after them; therefore, he begins like the first and blesses before it, and automatically when he blesses afterward – the blessing also applies to the previous verses since he read them. And even in this time when the sheliach tzibbur reads, in any case it is all one, for he reads in place of the one who ascends, and it is as if the one who ascended read them (Tosafot R"I in the fifth chapter of Berakhot). And even if he did not delay long enough to finish the parsha – he must do so (Magen Avraham, subsection 2). And even though in the time of the Mishnah all those called to the Torah relied on the blessing of the first and the last – this was because such was their intent, which is not the case now when everyone blesses – no one intends to fulfill their obligation with the blessing of another. Therefore, every parsha requires a blessing at the beginning and the end (ibid.).
איתא בירושלמי פרק חמישי דברכות (הלכה ג): היה קורא בתורה ונשתתק, זה שהוא עומד תחתיו יתחיל ממקום שהתחיל הראשון. אם אמר "את ממקום שפסק", הראשונים נתברכו לפניהן ולא נתברכו לאחריהן, והאחרונים נתברכו לאחריהן ולא נתברכו לפניהן. וכתיב: "תורת ה' תמימה, משיבת נפש" – שתהא כולה תמימה. עד כאן לשון הירושלמי, והביאו הרי"ף סוף פרק שלישי דמגילה והטור בסימן זה. ופירשו כל הראשונים דהכי פירושו: שזה השני העולה מברך לפניה, ומתחיל ממקום שהתחיל הראשון, וקורא עד סוף הפרשה ומברך לאחריה. דאם לא כן אלא יתחיל ממקום שפסק הראשון ובלא ברכה – נמצא שהפסוקים שקרא הראשון אין עליהם ברכה לאחריהן, ועל מה שיקרא השני אין עליהם ברכה לפניהם. וכי תימא: יתחיל ממקום שפסק הראשון ויברך לפניה? אכתי הפסוקים הראשונים לא נתברכו לאחריהם, הלכך מתחיל כמו הראשון ויברך לפניה, וממילא כשיברך אחר כך לאחריה – קאי הברכה גם על הפסוקים הקודמים שהרי קראן. ואפילו בזמן הזה ששליח הציבור קורא מכל מקום הכל אחד, שהרי קורא במקום העולה, והוי כאילו העולה קראן (תוספות ר"י בפרק חמישי דברכות). ואפילו לא שהה כדי לגמור הפרשה – צריך לעשות כן (מגן אברהם סעיף קטן ב'). ואף על גב שבזמן המשנה כל הקרואים סמכו על ברכת הראשון והאחרון – זהו מפני שהיתה כוונתם כן, מה שאין כן עתה שכולם מברכים – אין אחד מתכוין לצאת בברכת האחר. ולכן כל פרשה צריכה ברכה תחילה וסוף (שם).